Đại số tuyến tính Ví dụ

$- 3 + 4 i$

Bước 1

Tính khoảng cách từ $(a, b)$ đến gốc tọa độ bằng công thức $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$

Bước 2

Rút gọn $\sqrt{{(- 3)}^{2} + 4^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nâng $- 3$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{9 + 4^{2}}$

Bước 2.2

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$r = \sqrt{9 + 16}$

Bước 2.3

Cộng $9$ và $16$ .

$r = \sqrt{25}$

Bước 2.4

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$r = \sqrt{5^{2}}$

Bước 2.5

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$r = 5$

Bước 3

Tính góc quy chiếu $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{4}{- 3} |)$

Bước 4

Rút gọn $\arctan (| \frac{4}{- 3} |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$θ̂ = \arctan (| - \frac{4}{3} |)$

Bước 4.2

$- \frac{4}{3}$ xấp xỉ với $- 1.\overline{3}$ , là một số âm, nên ta làm âm $- \frac{4}{3}$ và loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối

$θ̂ = \arctan (\frac{4}{3})$

Bước 4.3

Tính $\arctan (\frac{4}{3})$ .

$θ̂ = 0.92729521$

Bước 5

Điểm này nằm ở góc phần tư thứ hai vì $x$ âm và $y$ dương. Các góc phần tư được đặt tên theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu ở phía trên bên phải.

Góc phần tư $2$

Bước 6

$(a, b)$ nằm trong góc phần tư thứ hai. $θ = π - θ̂$

$θ = π - 0.92729521$

Bước 7

Rút gọn $θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

$3.14159265 - 0.92729521$

Bước 7.2

Trừ $0.92729521$ khỏi $3.14159265$ .

$2.21429743$

Bước 8

Dùng công thức để tìm các nghiệm của số phức.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

Bước 9

Thay $r$ , $n$ , và $θ$ vào công thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π k}{3}$

Bước 9.2

Trừ $0.92729521$ khỏi $3.14159265$ .

${(5)}^{\frac{1}{3}} c i s \frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$

Bước 9.3

Kết hợp ${(5)}^{\frac{1}{3}}$ và $\frac{2.21429743 + 2 π k}{3}$ .

$c i s \frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Bước 9.4

Kết hợp $c$ và $\frac{{(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$ .

$i s \frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Bước 9.5

Kết hợp $i$ và $\frac{c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$ .

$s \frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

Bước 9.6

Kết hợp $s$ và $\frac{i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$ .

$\frac{s (i (c ({(5)}^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

Bước 9.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.7.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c (5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))))}{3}$

Bước 9.7.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)))}{3}$

Bước 9.7.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i (c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Bước 9.7.4

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k))}{3}$

Bước 9.7.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c \cdot 5^{\frac{1}{3}}) (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Bước 9.7.6

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s (i c) \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Bước 9.7.7

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\frac{s i c \cdot 5^{\frac{1}{3}} (2.21429743 + 2 π k)}{3}$

Bước 10

Thay $k = 0$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (0)}{3})$

Bước 10.2

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (0)}{3})$

Bước 10.3

Trừ $0.92729521$ khỏi $3.14159265$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (0)}{3})$

Bước 10.4

Nhân $2 π (0)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.4.1

Nhân $0$ với $2$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0 π}{3})$

Bước 10.4.2

Nhân $0$ với $π$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 0}{3})$

Bước 10.5

Cộng $2.21429743$ và $0$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743}{3})$

Bước 10.6

Chia $2.21429743$ cho $3$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 0.73809914$

Bước 10.7

Nhân $5^{\frac{1}{3}} c i s$ với $0.73809914$ .

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

Bước 11

Thay $k = 1$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (1)}{3})$

Bước 11.2

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (1)}{3})$

Bước 11.3

Trừ $0.92729521$ khỏi $3.14159265$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (1)}{3})$

Bước 11.4

Nhân $2$ với $1$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π}{3})$

Bước 11.5

Cộng $2.21429743$ và $2 π$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{8.49748274}{3})$

Bước 11.6

Chia $8.49748274$ cho $3$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 2.83249424$

Bước 11.7

Nhân $5^{\frac{1}{3}} c i s$ với $2.83249424$ .

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

Bước 12

Thay $k = 2$ vào công thức và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(π - 0.92729521) + 2 π (2)}{3})$

Bước 12.2

Thay thế bằng giá trị xấp xỉ thập phân.

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{3.14159265 - 0.92729521 + 2 π (2)}{3})$

Bước 12.3

Trừ $0.92729521$ khỏi $3.14159265$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 2 π (2)}{3})$

Bước 12.4

Nhân $2$ với $2$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{2.21429743 + 4 π}{3})$

Bước 12.5

Cộng $2.21429743$ và $4 π$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{14.78066804}{3})$

Bước 12.6

Chia $14.78066804$ cho $3$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot 4.92688934$

Bước 12.7

Nhân $5^{\frac{1}{3}} c i s$ với $4.92688934$ .

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$

Bước 13

Liệt kê các đáp án.

$k = 0 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (0.73809914)$

$k = 1 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (2.83249424)$

$k = 2 : 5^{\frac{1}{3}} c i s \cdot (4.92688934)$